在函数的观中。“比例”和“函数”这两个词的意义不只局限于数学；它们在雕塑和音乐这两个相关的艺术领域也极为重要。除了在单雕像各分的安排中，比例占有很重要的地位之外，雕像、浮雕、画等典型的古典艺术形式，都有尺度的扩大与缩小——而在音乐中，这些词便毫无意义——正如我们在钻石艺术中所看到的，在那里，主题本质上是原石料比例的缩小。相反，在函数的领域，有决定的重要意义的，乃是群的转换ansformationofgroups），而音乐家也乐于承认，同样的观念在现代作曲理论中也有本质的地位。我只需提及18世纪最妙的一弦乐形式——变奏曲，便足可证明这一。

所有的比例，都是基于各要素的不变，而所有的转换，都是基于各要素的可变。例如，比较一下对称定理的不同证明：欧几里得对它的证明事实上有赖于一个事先假定的1：1的比率，而近代数学是通过角函数来演绎相同的定理。

十四

古典数学整个地是一构成（construction）（广义上说，它包括初等算术），也就说，是某个单一的、在视觉上在场的图形的生产。在这一可称作第二雕刻的艺术中，圆规就是它的凿。而另一方面，在函数研究中，对象不是以量大小表现来的结果，而是对一般的形式可能的讨论，其工作方式可最好地描述为是一与音乐十分类似的作曲程序；并且事实上，有许许多多的观念与音乐理论（例如音调、乐句、音阶等）是汇的，这些观念皆可直接运用于理学，至少可以证明，有许多关系通过这运用可以得到说明。

每一个构成，都是一断言，每一次运算，都是对表象的一否定，因为前者所获得的结果，在视觉上是给定的，后者所获得的结果，则是对表象的解决。也是因此，我们还会遇到这两数学之间的另一个差别；研究小的事的古典数学，理的是的个例，产生的是一个一劳永逸的构成，而研究无穷的数学，理的是全类的形式可能，是函数、运算、方程式、曲线的群，并且所着的不是这些东西最终达致的任何结果，而是它们的程。就这样，在最近的两个世纪里——尽现今的数学家几乎没有意识到这一事实——逐渐地产生了数学运算的一般形态学的观念，我们在总地论及近代数学的实际意义时，便可以证明这一。所有这一切，正如我们将越来越明确地觉到的，都是西方才智所固有的一般倾向的一现，这倾向是浮士德神和浮士德文化所固有的，在其他的神和文化中是看不到的。我们的数学有为数众多的难题，这些难题常常被视作是“我们的”难题，如同如何把圆周化成正方形是希腊人的难题一样，——例如，无穷级数中的收敛（convergence）问题（柯西），把椭圆积分和代数积分转换成双周期的函数的问题［阿贝尔（abel）、斯］，这些问题，在追求简单、明确的定量结果的古代人看来，也许不过是相当艰的超技巧的一次展示罢了。其实，甚至今天的大众在心里也是这么认为的。本就没有什么“大众”的近代数学，尽它也包括有无穷远即距离的象征主义。所有伟大的西方作品，从《神曲》到《帕西伐尔》，都是非大众的，而古典的一切，从荷史诗到帕加（pergamum）的祭坛，都是极其大众化的。

十五

因此，最后，西方数字思想的全内涵，?