差异的有机逻辑来达成。知识形式的比较形态学是西方思想至今仍有待攻克的一个领域。

四

如果数学是像天文学或矿学一样的一纯粹科学，那要界定它们的对象应当是可能的。可以前从事数学研究的人并没有、也没有能力这么。我们西欧人对数字提了自己的科学观，为的是完成雅典和格达的数学家所从事的相同的任务。但事实是，在雅典和格达，类似名称的科学的主题、意图和方法与我们自己的完全不同。本就不存在单一的数学，而只存在不同的数学。我们所谓的“数学史”，意指的仅仅是某个单一的、不变的理想的逐步实现，而事实上，在数学史的虚饰的表面底下，是一大堆自足的、彼此独立的发展的复合，是一个不断重复的过程，在那里，总有新的形式世界的诞生，也有对旧的陌生的形式世界的挪用、转变和剥离，总之，这是一个发生于每个特定时期，并要经历从开到成熟、从枯萎直至死亡的过程的纯粹有机的故事。研究者决不可上当受骗。古典心灵的数学几乎是从一片空无中萌生来的；而历史地构成的西方心灵已经拥有了古典科学（不是内在地服膺，而是经由学习外在地获得的），因此它只能通过对后者作明显的改变和完善来成就自的科学，可事实上，它还得摧毁那本质上与之疏离的欧几里得系。第一情况的代表便是毕达哥拉斯，第二情况的代表是笛卡儿。在这两情况中，归到底，行为都是一样的。

在这个方面，一数学的形式语言跟和数学同源的主要艺术的形式语言之间的关系，是毋庸置疑的。思想家的气质与艺术家的气质之间的差异固然很大，但各自醒觉意识的表达方法在内在的方面可谓是同一辙。雕刻家、画家、作曲家的形式，就其质而言，本质上都是数学的。在17世纪的解析几何和投影几何中所现来的对一个无穷世界作的相同的、富有启发的秩序化，也使同时代的音乐生气盎然、活力弥漫，后者正是从通奏低音的艺术中发展可称作音响世界的几何学的和声技术的；同样地，这对无穷世界的秩序化，也激发同时代的绘画发展了透视原则（这是只有西方人才会知的有关空间世界的知觉几何学）。对于这一富有启发的秩序化，歌德称之为“在直观领域直接地领会形式的观念，对于这形式，纯粹科学不能领会，而只能观察和分割”。数学超了观察和分割的范围，它在其最级的时刻可以通过想象而不是象来发现自己的路。还是歌德，曾说过一句意味长的名言：“数学家只有在他从自之中受到真实的时，他才是完备的。”在此，我们当可受到，数字的奥妙与艺术创作的奥妙，其关系是何等的密啊！也是因此，天生的数学家的位置，常常可以和赋格曲、雕刻、绘画等领域的大师排在一起；他和他们一样，都努力且必须努力去实现万的伟大秩序，给那秩序穿上象征的外装，使其能同下里人行，让他们在自己的内心去倾听那秩序，而不是富有成效地去占有那秩序；数字的王国，跟音调、线条、彩的王国一样，皆是世界形式的意象。正是因为这一，“创造”一词在数学领域比在纯粹科学领域意味着更多的东西——顿、斯、黎曼（riemann）都是天生的艺术家（artist…nature），我们知，他们的那些伟大的概念都是不经意间的神来之。老维尔斯特拉斯（bsp;因而，数学就是一门艺术。如是言之，那它必定有自己的风格和风格期（style…periods）。它不是

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