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因而，数学就是一门艺术。如是言之，那它必定有自己的风格和风格期（style…periods）。它不是像门外汉和哲学家（在这个问题上，他也是门外汉）所认为的那样实质上是不可改变的，而是像每一种艺术一样在各个时代皆有其难以觉察的变化。当我们在处理伟大的艺术的发展时，也要（确然地而不是徒劳无功地）顺便看一下同时代的数学的发展。对于音乐理论的变化与对无穷的分析之间存在的深刻关系，细节从未被人深究过，尽管美学从这些细节中所学的远多于从所谓的“心理学”中学到的。如果写一本乐器史，不是（如人们时常所做的那样）从音调生产的技术角度来写，而是根据对音色和音效的深层精神基础的研究来写，则可揭示更多。因为想用声音来填满无穷的空间，乃是一种意愿，一种强烈到近乎渴望的意愿，正是这种意愿产生了——与古典的七弦琴和竖笛（里拉琴、基特拉琴；奥洛斯管、叙任克斯笛）以及阿拉伯的琵琶完全不同——键盘乐器（管风琴、钢琴等）和弓弦乐器这两大家族，并且早在哥特时期就已出现了。这两大乐器家族的发展在精神上（可能也关系到技术源头）要归功于位于爱尔兰、威悉河和塞纳河之间的北部凯尔特…日耳曼人。管风琴和古钢琴当然是英国人的功劳。弓弦乐器于1480至1530年间在上意大利获得了其确定的形式，而管风琴发展成我们所知道的一种占据空间的庞然大物，一种在所有音乐史上还不曾见到相似物的乐器，这首要的是在德国。巴赫及其时代那自由的管风琴演奏若不是一种分析——对奇妙而巨大的音响世界的分析——还能是什么。类似地，还是与西方的数字思维相一致，而与古典思维相反，我们的弦乐器和管乐器也不是单独地而是在庞大的群体（弦乐器、木管乐器、铜管乐器）中发展的，是依据四级人声的音域排列的；现代管弦乐队的历史，以及它所有新乐器的发明和老乐器的改良，事实上是一个音响世界的自足的历史，而且这是一个完全可以用高等分析的形式加以表现的世界。

五

大约公元前540年，当毕达哥拉斯学派得出数是万物的本原的观点时，所迈出的决不是“数学发展中的一小步”，而是一种全新的数学的诞生。这一新的数学，很久以来，形而上学的提问方式和艺术的形式倾向就已经预示出来了，而现在，由古典心灵的深处迸发而出，形成为一种系统阐发的理论，一种在一幕场景或一个伟大的历史时刻诞生的数学——如同埃及人的数学、巴比伦文化的代数天文学及其黄道坐标系统（eclipto…ordinatesystem）诞生的情形一样。但这种数学是全新的，因为那些古老的数学早已消失无形了，而埃及的数学从未形诸于文字。公元前2世纪所完成的古典数学，亦随古典时代的转换而消失（尽管表面上看，它甚至在今天依然存在，可仅仅是作为一种便利的记号存在着），让位于阿拉伯数学。从我们对亚历山大里亚数学的了解中，可以得出这样一个必要的假设：在中东地区曾出现一次伟大的运动。运动的重心当然是一些波斯…巴比伦学派，如以得撒（edessa）、贡狄萨坡拉（gundisapora）和忒息丰（ctesiphon）等地的学派，至于它们是如何传入讲古典语言的地区，我们只知道一些细枝末节。尽管都有希腊名字，但亚历山大里亚的数学家们——如研究等周形的芝诺多罗斯（zenodorus）、探讨空间中的和谐面束（harmonicpencileinspace）的特性的塞里努斯（serenus）、介绍迦勒底人的圆周划分法的希普西克勒（hypsicles），尤其还有丢番图（diophantus）——毫无疑问全

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