自文艺复兴以来，一项又一项的重大创造接踵而至，如早在1550年卡丹（cardanus）就引的虚数和复数；1666年经由顿在二项式定理上的重大发现而在理论上为其奠定了基础的无穷级数；莱布尼茨的微分几何和定积分；笛卡儿开启先河的作为一新的数字单位的“集合”理论；还有像一般积分这样的新的运算方式；像函数向级数甚至向其他函数的无穷级数的扩展——所有这一切，都是对在我们当中行的觉的数字的一胜利，也是新数学为了实现新的世界而赢得的胜利。

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十

但是，那可用来表达函数的，并不是各自独立的符号（例如x、、s），而是作为单位的函数本，是作为要素的函数本，是那再也不能从视觉上加以界定、且构成了新的数系的可变关系；这一新的数系需要有新的记号方法，后者的确立还要完全不受古典方法的影响。看一下诸如和3x＋4x=5x和xn＋yn=zn（费定理的方程式）这两个方程式（如果这同一个词语可以用来表达两个不同的事的话）之间的不同：前一方程式是由几个古典数字——亦即量——构成的，而后一方程式则属于一不同的数系，只是由于据欧几里得…阿基米德的传统，写成了与前一方程式相同的形式，才掩盖了它们之间的差别。在前一个方程式中，符号等于是要确立那些确定而实在的数量之间的严密联系，而在第二个方程式中，符号表示在一可变的意象领域存在着这样一关系：若有某些变化发生，则必然会随之另一些变化。第一个方程式有其自的目标，那就是通过某一的量的度量，便可获得确定的东西，亦即一个“结果”，而第二个方程式，一般来说，并无结果可言，而不过是一关系的图象和符号表示，这关系便是（这便

这一古典化的倾向的一个结果，便是妨碍了我们去发现与我们的西方数字本相匹的新的记号系。现今数学的符号语言歪曲了它的实际内涵。这主要是由于这样一倾向，即对作为量的数字的信念甚至在今天仍主宰着数学家的观念，可它还能不能作为我们所有的书写记号的基础呢？

欧几里得几何学（它是儿童和门外汉所共有的属于人的几何学，其基础便是日常经验），而且阿基米德的算术，对于西欧的真正有意义的数学而言，不再有任何价值。从此之后，数学单单只在于象的分析。对于古典人而言，几何学和算术是自足的和完整的最科学，两者都是现象的，都只关心可以被描画或计数的量的大小。相反，对于我们来说，这些东西仅仅是日常生活的实际附属品。加法和乘法是古典的两计算量的大小的方法，和其孪生妹几何图形一样，它们在函数过程的无穷中彻底地消失了。甚至像乘方，最初只是数字地表示一组相同数值的连乘积，如今经由指数观念（对数），以及它在复数、负数和分数形式中的应用，也已经与数量大小完全没有了联系，而转移至只知表示面积和积的两正整数的乘方的希腊人所难以理解的一超越的关系世界中了。例如，我们可以看一下这样的表达式：

在所有历史中，一文化对待另一文化，如同我们的文化对待古典文化那样在科学的问题上如此长久地表现敬仰和谦逊的态度，至今还找不第二个例。经过了漫长的岁月，我们才有勇气去思考我们自己独的思想。但是，尽效仿古典的意图一直都存在，可我们所作的每一步尝试，实际上都在使我们一步远离想象中的理想。因此，西方知识的历史，其实就是渐地摆脱古典思想的历史，这摆脱从来不是自愿的，而是在无意识的被迫的。因此，新数学的发展，其实就是为对抗量的观念而行的一场长期的、秘密的且最终获得胜利的战斗。